《高等数学（二）》作业
一、判断题
1、两向量夹角的范围为[0,π]。 （ ）
2、 向量a∥b当且仅当a×b=0。 （ ）
3、若
在点
处的偏导数存在，则在点处的方向导数存在。 （ ）
4、加上、去掉或改变级数的有限项，不影响级数的敛散性。 （ ）
5、在有界闭区域D上的多元连续函数有界且能够取得最大值和最小值。
（ ）
6、xOy面上的抛物线
绕y轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为
。 （ ）
7、第二类曲面积分与曲面的侧无关。 （ ）
8、格林公式揭示了沿闭曲线的第二类曲线积分与二重积分之间的联系。
（ ）
9、在整个
面内，
是某个函数的全微分。 （ ）
10、设空间有界闭区域
的体积为
，则
。 （ ）
11、向量a=(1,0,0)与b=(0,1,0)垂直。 （ ）
12、a∙a=|a|2。 （ ）
13、一切多元初等函数在定义域内连续。 （ ）
14、在有界闭区域D上的多元函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
（ ）
15、绝对收敛的级数必收敛。 （ ）
16、连通区域一定有界。 （ ）
17、二元连续函数一定有极大值。 （ ）
18、 设
，则
。 （ ）
19、 二元函数的二阶混合偏导数与求导次序无关。 （ ）
20、设空间有界闭区域的体积为，则。 （ ）
21、向量a=(1,0,0)与b=(0,1,0)平行。 （ ）
22、a×a=0。 （ ）
23、二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。 （ ）
24、若在点处具有一阶连续偏导数，则在点处的方向导数存在。 （ ）
25、调和级数
收敛。 （ ）
26、直线与平面夹角的范围为[0,π]。 （ ）
27、一切多元初等函数在定义区域内连续。 （ ）
28、格林公式对平面复连通区域也适用。 （ ）
29、二元函数在有界闭区域连续是函数在该区域有界的必要条件。 （ ）
30、设函数
在有向光滑曲线弧L上连续，则
。（ ）
31、向量a=(1,0,0)为单位向量。 （ ）
32、a×a=|a|2。 （ ）
33、在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。 （ ）
34、若在点处沿任意方向的方向导数均存在，则在点处的偏导数存在。 （ ）
35、设函数在有向光滑曲线弧L上连续，则
。
（ ）
36、两平面夹角的范围为[0,π]。 （ ）
37、第一类曲面积分与曲面的侧有关。 （ ）
38、若级数
收敛，
发散，则级数
必发散。 （ ）
39、二次积分
。 （ ）
40、格林公式只适用于单连通区域。 （ ）
41、若向量a与b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等。 （ ）
42、多元连续函数的复合函数也是连续函数。 （ ）
43、a∥b当且仅当a∙b=0。 （ ）
44、第二类曲面积分与曲面的侧有关。 （ ）
45、平面点集的边界点一定属于这个集合。 （ ）
46、在三维空间中，方程
表示旋转曲面。 （ ）
47、二元函数连续是偏导数存在的必要条件。 （ ）
48、级数各项乘以非零常数后其敛散性不变。 （ ）
49、设空间有界闭区域的体积为，则。 （ ）
50、二次积分
。 （ ）
51、零向量的起点和终点重合，其方向可以看作是任意的。 （ ）
52、a∙a=0。 （ ）
53、
是二元初等函数。 （ ）
54、若在点处沿任意方向的方向导数存在，则在点处的偏导数存在。 （ ）
55、多元连续函数的和、差、积、商仍为连续函数。 （ ）
56、设平面有界闭区域D的面积为
，则
。 （ ）
57、部分和数列有界是正项级数收敛的充分非必要条件。 （ ）
58、二次积分
。 （ ）
59、第二类曲线积分
的值与曲线弧L的方向无关。 （ ）
60、设函数在光滑曲线弧L上连续，则
。（ ）
填空题
1、向量
在x轴上的投影为 。
2、设向量
，
，则
。
3、若
，则
。
4、幂级数
的收敛域为 。
5、球面
在点
处的法线方程为 。
6、函数
在点
处的梯度为 。
7、改变二次积分
的积分次序为 。
8、三重积分
，其中是由球面
所围成的闭区域。
9、上半球面
的表面积为 。
10、计算
，其中
为椭圆
，方向为逆时针方向。
11、点M（5，-3，4）到x轴距离是 。
12、螺旋线
在
面上的投影曲线的一般方程为 。
13、曲线
上点
处的切线与正向
轴所成的倾角为 。
14、若，则
。
15、函数
的全微分为
。
球面在点处的切平面方程为 。
将二重积分
表示成极坐标形式的二次积分为 。
18 曲面及平面
所围成的闭区域，化三重积分
为三次积分为 。
19幂级数
的收敛域为 。
20、在利用拉格朗日乘数法求目标函数在约束条件
下的极值问题时，拉格朗日函数
。
21、已知矢量
和
，则
。
22、双曲线
绕
轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 。
23、
。
24、曲线
在点
处的切线方程为 。
25、 在利用拉格朗日乘数法求目标函数
在约束条件
下的极值问题时，拉格朗日函数应设为
。
26、椭圆
所围成的图形的面积为 。
27、函数
的全微分为 。
28、将二重积分
表示成极坐标形式的二次积分为 。
改变二次积分
的积分次序为 。
30、格林公式的内容为：设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数
在D上具有一阶连续偏导数，则有
，其中L 是 D 的取正向的边界曲线。
31、已知矢量和，则 。
32、直线
与直线
的夹角为 。
33、双曲线
绕轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 。
34、 。
35、曲线在点
处的法平面方程为 。
36、函数
在点 处取得极值。
37、在利用拉格朗日乘数法求目标函数
在条件
下的极值问题时，拉格朗日函数应设为 。
38、函数
的全微分为 。
39、将二重积分
表示成极坐标形式的二次积分为 。
改变二次积分
的积分次序为 。
41、向量
的方向余弦为
，
，
。
42、曲线
在点
处的切线方程为 。
43、设平面区域
关于x轴对称，函数
在上连续且关于y为奇函数，则
。
44、双曲线
绕轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 。
45、函数的全微分为 。
46、曲线
上点处的切线与正向y轴所成的倾角为 。
。
48、若
，则 。
49、将二重积分
表示成极坐标形式的二次积分为 。
改变二次积分
的积分次序为 。
51、向量的方向角为
，
，
。
52、设空间区域关于xOy面对称，函数
在上连续且关于z为奇函数，则
。
53、抛物线绕
轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 。
54、曲线在点处的法平面方程为 。
55、函数
的全微分为 。
56、幂级数
的收敛域为 。
57、曲线
上点处的切线与正向轴所成的倾角为 。
58、
。
59、若，则
。
60、改变二次积分
的积分次序为 。
三、计算题
1、设
，
，
，求
，
。
计算曲线积分
，其中
为螺旋线
上的一段弧。
3、计算曲面积分
，其中
为球面
被平面
截出的顶部。
4、求函数
在点(1,1,2)处沿方向l的方向导数，其中l 的方向角分别为60o，45o，60o。
5、求两个底圆半径都等于
的直交圆柱面
和
所围成的立体的体积。
6、计算
，其中L为沿抛物线
从点A(1,-1)到B(1,1)的一段。
7、求直线
与平面
的交点。
8、计算二重积分
，其中区域为
在第一象限的部分。
求两个底圆半径都等于的直交圆柱面和所围成的立体的表面积。
10、求函数
的一阶和二阶偏导数。
11、计算三重积分
，其中Ω为三个坐标面及平面
所围成的闭区域。
12、计算曲面积分
，其中是球面
外侧在x≥0, y≥0, z≥0的部分。
13、求曲线
在点处的切线及法平面方程。
14、计算二重积分
，其中D为由抛物线
及直线
所围成的闭区域。
15、计算幂级数
的收敛域及和函数
。
已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)，B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。
17、设
，求
。
18、计算三重积分
，其中Ω为抛物面与平面
所围成的闭区域。
